Koordinatsystem

Inledning

Koordinatsystem är ett mycket centralt begrepp i mätarens värld. Att välja rätt koordinatsystem är A och O för mätresultatet. Det gäller inte minst vid en kompletterande inmätning, vid all mätning på ett större byggprojekt med flera mätare inblandade eller när en framtida utsättning ska ske efter en projektering. 

Om ett koordinatsystem används vid inmätningen och ett helt annat koordinatsystem används vid den kompletterande mätningen eller vid själva utsättningen, blir slutresultatet bara pannkaka - trots mycket noggranna mätningar med ett precisionsinstrument vid båda mättillfällena! Ju noggrannare mätningar som krävs, desto mer ökar också kraven på koordinatsystemet och dess transformationssamband!

Tyvärr finns det tusentals olika koordinatsystem bara i Sverige, så det är lätt att strula till det! Tack vare den moderna beräkningstekniken går det dock att ta fram ett transformationssamband mellan två olika koordinatsystem. Därmed kan koordinaterna konverteras från ett koordinatsystem till ett annat. Därmed kan den nya mätningen ske med en RTK-GPS direkt i det gamla koordinatsystemet!

I princip finns det två sorters koordinatsystem, nämligen

Det finns ofta möjligheter att köra ett känt koordinatsystem i sidled och ett lokalt koordinatsystem i höjd. Så är ofta fallet vid nya mätningar på gamla vattenföretag (t.ex. en kontrollavvägning), där det redan finns ett etablerat lokalt höjdsystem - med en eller flera höjdfixar!  

Lokala koordinatsystem

Lokala koordinatsystem är mycket vanliga vid enklare mätningar med optiska mätinstrument - inte minst ute på landsbygden, där det är glest med kända referenspunkter! 

Fördelar

Det går snabbt att komma igång med mätningen vid det första mättillfället med ett lokalt koordinatsystem. Det är bara att sätta upp mätinstrumentet på en lämplig stationspunkt, som då ges en lämplig koordinat (t.ex. X=1000 m, Y=1000 m och Z=10 m). Stationskoordinaterna ges tillräckligt stora värden, så att inga negativa koordinater kommer med i mätningen. Sedan tas en ungefärlig norriktning ut, eventuellt via godtyckliga koordinater på ett bakobjekt (t.ex. X=1100 m, Y=1000 m och Z=10 m). Voila! Det lokala koordinatsystemet är etablerat. Nu är det bara att börja mäta för fullt! 

Det lokala höjdsystemet fås från stationspunktens höjd. Om det finns en gammal känd höjdfix i närheten, så kan det gamla höjdsystemet gärna nyttjas i mätningen - även om det krävs lite mer arbete innan själva inmätningen kan påbörjas.

Nackdelar

Tyvärr finns det fyra stora nackdelar med alla lokala koordinatsystem, som gör att allt fler mätare försöker undvika de lokala koordinatsystemen så långt som möjligt.

  1. Alla referenspunkter (fixpunkter) måste nämligen markeras noggrant i terrängen, så att de lätt kan återfinnas vid en eventuell kompletteringsmätning eller en framtida utsättning. Så fort någon referenspunkt förstörs (eller inte längre kan återfinnas), så minskar det gamla referenssystemet snabbt i värde. I värsta fall kan det gamla koordinatsystemet inte längre användas. Då måste hela grundmätningen göras om från början!

  2. Om en mätfirma ska göra en noggrann utsättning på ett jobb, som tidigare har projekteras av någon konkurrerande mätfirma, kan vederbörande bli tvungen att köpa koordinaterna + beskrivningarna till referenspunkterna för dyra pengar från den konkurrerande mätfirman. Dessutom kan det ta lång tid att återfinna de gamla referenspunkterna ute i fält - i vad mån de överhuvudtaget finns kvar!

  3. Det uppstår lätt stora spänningar i koordinatsystemet när det täcker in ett större område. Dessa spänningar kan dock utjämnas genom ett tidskrävande polygontåg och ett speciellt datorprogram för nätutjämning.

  4. Kunden kan sällan framgångsrikt importera resultatet från mätningen i det lokala koordinatsystemet till sitt digitala kartprogram.

Kort om transformation

För att ett lokalt koordinatsystem ska förvandlas till ett känt koordinatsystem, måste ett transformationssamband mellan ett känt koordinatsystem och det lokala koordinatsystemet tas fram. Så fort detta transformationssamband blir allmänt känt, så försvinner de flesta nackdelarna med det lokala koordinatsystemet.

Kända koordinatsystem

Bakgrund

Alla kända koordinatsystem har fördelen att många mätare och projektörer känner till det aktuella koordinatsystemet och dess transformationsparametrar. Vid alla större projekt blir mätningar i ett känt koordinatsystem absolut nödvändigt, men även små projekt bör mätas i ett känt koordinatsystem. Fördelarna blir helt enkelt väldigt stora för både kunden och mätaren!

Med den moderna GPS-tekniken (främst efterberäkning, RTK-GPS eller nätverks-RTK) går det extra lätt att mäta i eller etablera nya referenspunkter i ett känt koordinatsystem. Allt som behövs är ett känt transformationssamband mellan WGS 84 och det aktuella koordinatsystemet. Då minimeras också risken för spänningar i nätet. Vid behov går det också lätt att kontrollmäta eventuella tveksamma mätpunkter i det kända koordinatsystemet. Fasta fixpunkter blir allt mer sällsynta i dagens GPS-baserade mätvärld.

Allt fler kunder kör med digitala kartprogram, växtodlingsprogram (t.ex. dataväxt) eller CAD-program och vill därför kunna lägga in resultatet från mätningarna i sitt digitala kartprogram, växtodlingsprogram (t.ex. dataväxt) eller CAD-program. För att kunna lägga in mätningarna i det aktuella programmet, krävs helt enkelt att koordinatlistan eller den digitala CAD-ritningen levereras i ett känt koordinatsystem (förslagsvis rikets nät). Dessutom måste ju datafilen kunna levereras i ett lämpligt dataformat, för att kunden över huvud taget ska kunna importera datafilen!

Nackdelen med kända koordinatsystem är dock att det kan ta längre tid att etablera en totalstation vid det första mättillfället, innan själva mätningen kan påbörjas. Ju större krav på mätningens noggrannhet, ju viktigare blir också valet av exakt rätt koordinatsystem - med rätt projektion och rätt transformationsparametrar!

Några olika sorters kända horisontala koordinatsystem

Här tar jag upp några olika typer av koordinatsystem i plan, som den svenska mätaren kan stöta på i sin verksamhet. De internationella koordinatsystemen måste ju anpassas till att jorden är ett runt klot, som är avplattad vid polerna. De gamla kommunala koordinatsystemen kan däremot projiceras som om jorden är platt som en pannkaka.

Internationella koordinatsystem

WGS 84 är det internationella koordinatsystem som alla GPS-mottagare använder, när de beräknar sin position i latitud och longitud. Notera att WGS 84 avser både det koordinatsystem och den ellipsoidmodell som används vid GPS-mätningen. Det finns många transformationssamband mellan just WGS 84 och andra koordinatsystem. Ute i Europa används även EUREF 89

Rikets nät

Detta är de nationella koordinatsystem, som används vid bl.a. de allmänna kartorna från lantmäteriet. Det gamla rikets nät heter RT 90 2,5 gon V. Tyvärr har RT 90 2,5 gon V vissa spänningar i sig. Vid en noggrann mätning med en RTK-GPS, blir det tyvärr ett s.k. restfel kvar i transformationen från WGS 84 till RT 90 2,5 gon V. Lokalt kan restfelet bli flera decimeter stort. Restfelet kan minimeras genom en s.k. restfelsinterpolering. 

För att bättre stämma överens med WGS 84, har Lantmäteriet valt ett nytt koordinatsystem som rikets nät. Det nya koordinatsystemet heter SWEREF 99 och är kopplat till EUREF 89. SWEREF 99 kommer att användas på de nya kartorna från Lantmäteriet. På äldre svenska kartor användes helt andra koordinatsystem, t.ex. RT 38.

På lantmäteriets kartor används också ett UTM-nät. Tidigare användes UTM (ED 50). Nu används UTM (SWEREF 99). Tyvärr ger UTM (ED 50) helt andra siffror än UTM (SWEREF 99).

Notera att både RT 90 och SWEREF 99 finns i olika projektioner. För RT 90 skiljer det 2,5 gon mellan varje steg, för SWEREF 99 skiljer det antingen 0,75 eller 1,5 grader mellan varje steg. Allt för att få till en så bra anpassning till verkligheten som möjligt. Med två olika projektioner, får samma mätpunkt helt olika koordinater (siffror) i respektive koordinatsystem. Även arealer och längder påverkas av den valda projektionen - enligt egna tester!  

Regionala nät

De regionala näten gäller då inom olika regioner i Sverige och är kopplat till rikets nät genom olika transformationssamband. Regionala koordinatsystem är användbara för t.ex. regionala vägprojekt och dylikt, som går över kommungränserna. Det finns 12 regionala nät kopplade till RT 90 (RT R01 - RT R12) och 12 regionala nät kopplade till SWEREF 99 (dd mm).

Kommunala nät

Varje kommun med självaktning har minst ett eget koordinatsystem. Vid noggrannare GPS-mätningar (efterberäkning) har det visat sig att varje stadsdel ofta har sitt eget koordinatsystem. Historiskt sett har många kommunala nät börjat som ett lokalt koordinatsystem, som successivt har byggts på. Andra kommunala nät utgår ifrån det regionala nätet

Kända höjdsystem

Ellipsoidhöjd

En GPS mäter höjden till WGS 84 ellipsoiden. För att räkna om ellipsoidhöjden till den aktuella geoidhöjden, finns olika geoidmodeller framtagna. En gratis beräkningstjänst för den officiella geoidmodellen SWEN 01L finns här!

Rikets höjdnät

I Sverige har tre nationella precisionsavvägningar ägt rum genom åren, vilket har skapat tre olika nationella höjdnät. Den första precisionsavvägningen (avvägdes 1886 - 1905) resulterade i höjdmodellen RH 00. Den andra precisionsavvägningen (avvägdes 1951 - 1967) och resulterade i höjdmodellen RH 70. Nyligen avslutades den tredje precisionsavvägningen (avvägdes 1978 - 2003), vilket resulterade i den superfärska höjdmodellen RH 2000

Den tredje precisionsavvägningen är mycket mer omfattande än de två första precisionsavvägningarna. De två första precisionsavvägningarna lämnade dessutom en del övrigt att önska beträffande mätnoggrannheten i höjd. Som en viss förbättring av RH 70, har vissa dåliga mätpunkter sållats ut från den andra precisionsavvägningen. Resultatet har blivit en ny höjdmodell kallad RHB 70.

I samband med beräkningen av RH 2000, tog lantmäteriet också fram en nationell landhöjningsmodell. Även om landhöjningen i södra Sverige inte är mer än 1-3 millimeter per år, så blir landhöjningen ändå rätt så besvärande för mätaren efter ett antal år. Strax norr om Tidaholm blir punkterna 18,6 centimeter högre i RH 2000 än i RH 70.  

Regionala och kommunala höjdnät

De flesta regionala och kommunala höjdnäten utgår ifrån enstaka höjdfixar, som användes i RH 00 eller RH 70. Nya kontrollmätningar har visat att kvaliteten på främst de gamla regionala höjdnäten ofta lämnar en hel del övrigt att önska!

Koordinattransformationer och transformationssamband

Bakgrund

Om det finns ett känt transformationssamband mellan två olika koordinatsystem, är det fullt möjligt att räkna om koordinaterna från det ena koordinatsystemet till det andra. Denna möjlighet blir ju extra intressant med den moderna GPS-tekniken. Därför finns det extra många transformationssamband framtagna mellan just WGS 84 och andra kända koordinatsystem. Lantmäteriet har ett stort projekt (RIX 95) för att ta fram transformationssamband mellan WGS 84, rikets nät och alla kända kommunala koordinatsystem.

Med en modern kontrollenhet går det snabbt att skapa egna transformationssamband i fält mellan två olika koordinatsystem, t.ex. mellan rikets nät (RT 90 2,5 gon V) och ett lokalt koordinatsystem. Det är också möjligt att lägga in färdiga transformationssamband den moderna kontrollenheten. Därmed blir det redan från början möjligt att mäta med en RTK-GPS i rätt koordinatsystem. De aktuella transformationssambanden kan också tas fram i ett bra CAD-program (t.ex. TopoCAD). 

Vad krävs för att kunna ta fram ett bra transformationssamband

En förutsättning är att det finns ett antal gemensamma passpunkter med kända koordinater i de båda aktuella koordinatsystemen. För en lyckad koordinattransformation, måste alla genensamma passpunkter dessutom vara väl utspridda över hela det relevanta området och dessutom vara väl inmätta. Slutligen bör det finnas ett antal kontrollpunkter, för att testa giltigheten i det framtagna transformationssambandet. 

Ju fler passpunkter som används i koordinattransformationen, ju bättre och säkrare bli det framtagna transformationssambandet. Generellt rekommenderas att använda minst dubbelt så många passpunkter i den aktuella transformationsmetoden, än vad som är nödvändigt enligt teorin. 

Minsta lilla slarv vid framtagandet av de olika transformationsparametrarna och i valet av transformationsmetod, kan leda till stora koordinatfel - något som författaren tyvärr själv har fått erfara! Ju noggrannare mätningar som krävs, desto mer ökar också kraven på koordinatsystemen och koordinattransformationerna.

Olika typer av horisontala transformationsmetoder

 

När används de olika transformationsmetoderna

Här ges en kortare beskrivning på de vanligaste transformationsmetoderna. Generellt används en affin transformation vid en digitalisering av en gammal karta eller dylikt. Vid transformation mellan olika geodetiska koordinatsystem används vanligtvis en likformig (Helmert-2D) tranformation eller en kongruent transformation. Vid GPS-mätningar används oftast projektiva transformationer.

Parallellförflyttning

Här sker bara en enkel parallellförflyttning (2D) av koordinaterna. Allt annat är oförändrat. Ingen vridning sker och skalfaktorn för båda axlarna är 1. Storleken och formen förblir helt oförändrad, liksom projektionen och de topologiska egenskaperna. Alla linjer förblir parallella. 

En parallellförflyttning kräver bara två parametrar och minst en passpunkt. Parametrarna är X0 (delta X) och Y0 (delta Y). Det matematiska sambandet ser ut enligt följande:

                            X=X0 + x

                            Y=Y0 + y

Kongruent transformation

I en kongruent transformation sker bara en vridning och eventuellt en parallellförflyttning av koordinaterna. Skalfaktorn är 1, d.v.s. skalan förblir konstant. Alla parallella linjer förblir parallella efter transformationen. Projektionen och de topologiska egenskaperna förblir oförändrade. 

Det krävs tre parametrar och minst två passpunkter för att genomföra en kongruent transformation. Parametrarna är X0 (delta X), Y0 (delta Y) samt vridningen (a). Det matematiska sambandet ser ut enligt följande:

                            X=X0 + x*cos a - y*sin a

                            Y=Y0 + x*sin a + y*cos a

Likformig transformation

En likformig transformation, även kallad Helmert-2D transformation, kan i princip sägas vara en en kongruent transformation med en skalfaktor inbakad i sig. Skalfaktorn (m) är dock konstant för både X-led och Y-led. Alla parallella linjer förblir parallella efter transformationen. Projektionen och de topologiska egenskaperna förblir oförändrade. 

Det krävs fyra parametrar och två passpunkter för att genomföra en likformig (Helmert-2D) transformation. Parametrarna är X0 (delta X), Y0 (delta Y), vridningen (a) samt skalfaktorn (m). Det matematiska sambandet ser ut enligt följande:

                            X=X0 + x*m*cos a - y*m*sin a

                            Y=Y0 + x*m*sin a + y*m*cos a

Affin transformation

En affin transformation är i princip en likformig (Helmert-2D) transformation med olika skalfaktorer för X-axeln (mx) respektive Y-axeln (my). Även vridningen blir då olika för X-axeln (a) och för Y-axeln (a + b). Linjerna förblir dock fortfarande parallella med varandra efter transformationen. Projektionen och de topologiska egenskaperna förblir oförändrade. 

Det krävs sex parametrar och minst 3 passpunkter för att genomföra en affin transformation. Parametrarna är X0 (delta X), Y0 (delta Y), vridningen för X-axeln (a), bristande rätvinklighet (b), skalfaktorn för X-axeln (mx) och skalfaktorn för Y-axeln (my). Det matematiska sambandet ser ut enligt följande:

                            X=X0 + x*mx*cos a - y*my*sin (a + b)

                            Y=Y0 + x*mx*sin a + y*my*cos (a + b)

Projektiva transformationer

En projektiv transformation används vid en direktöversättning från ett internationellt koordinatsystem till ett traditionellt plansystem. Då behålls de projektiva och topologiska egenskaperna. Det krävs åtta olika parametrar för en projektiv transformation. Dessa är då referensellipsoiden, halva storaxeln, medelmeridianen, den inverterade avplattningen, latituden för origo, skalreduktionsfaktorn, X-tillägget och Y-tillägget. 

En förenklad variant, som används vid transformationen mellan WGS 84 och RT 90 2,5 gon V är den s.k. 7-parameterstransformationen (Helmert-3D). För hobby-GPS-mottagare finns även olika 5-parametersformer framtagna. Mer info om 7-parametersformler finns här. Mer info om 5-parametersformler finns här!

Tillbaks till startsidan! Tillbaks till mätinstrumenten!